Circula pela web um email com um problema que já fez meu cérebro consumir muito fosfato na adolescência, até que o encontrei explicado de forma cabal no clássico O Homem que Calculava, de Malba Tahan.
Três amigos almoçam num restaurante. A conta dá 30 reais e cada um paga 10 ao garçom. Quando este leva o dinheiro ao caixa, o gerente diz que aqueles são antigos clientes, e vai cobrar apenas 25 reais em vez de trinta. Devolve ao garçom o troco sob a forma de cinco notas de um real. O garçom volta à mesa e, espertalhão, embolsa 2 reais para si, anuncia aos clientes que o gerente devolveu 3 reais, e cada um dos três recebe uma nota de um real.
A questão é: Cada cliente pagou 10 e recebeu um. Portanto, cada um pagou 9 reais, e os três em conjunto pagaram 27,00. O garçom ficou com mais dois reais, o que perfaz 29. Para onde foi R$ 1 real que ficou faltando?
Este é um problema útil na vida real, porque nos força a prestar atenção ao que está sendo discutido, e não tomarmos falsos atalhos, que irão nos afastar da resposta certa. Formular o problema, já dizia Sherlock Holmes, é meio caminho andado para resolvê-lo. A maioria dos problemas não resolvidos consiste em problemas tão mal formulados que seria quase impossível encontrar as conclusões certas a partir de premissas contraditórias.
Neste caso, se bem me lembro da explicação de Malba Tahan, as condições do problema foram mudadas no meio do caminho. No momento em que o garçom chega com os 30 reais e o gerente diz que só vai cobrar 25, e devolve um troco de cinco, a tal despesa de trinta reais vai para o espaço. Só existem, concretamente, os 25 que o gerente aceitou, e os 5 que estão na mão do garçom.
O garçom fica com dois para si, e devolve 1 real a cada cliente. A soma total de dinheiro passa a ser: 25 no caixa, 3 com os clientes e 2 com o garçom. Alguém perguntará: “Mas se cada um deles pagou 10 e recebeu 1 de troco, então os três em conjunto pagaram 27!”. De fato: pagaram 27 reais, sendo que destes 25 ficaram com o restaurante, e dois com o garçom.
O erro da primeira conta, ao que parece, está em somar as parcelas erradas. Por exemplo: quando somamos os 27 reais pagos pelos clientes e os 2 que estão com o garçom, estamos somando alguns reais duas vezes, pois se o gerente só aceitou 25, então os 2 que sobram já estão na mão do garçom e não podem ser considerados duas vezes.
No livro de Malba Tahan, ele faz a contraprova com uma série de despesas parecidas, mas com valores muito diferentes, e mostra que esse “um real que ficou faltando” pode chegar a ser uma soma enorme, equivalente ao valor do jantar inteiro.
Dois conselhos. Examine bem a formulação de um problema para ver se não tem armadilhas involuntárias. E cuidado, muito cuidado, com os problemas que trazem armadilhas voluntárias embutidas: orçamentos, balanços fiscais, prestações de contas. Em caso de dúvida, chamem Beremiz Samir, “o Homem que Calculava”.
Um comentário:
A história que está no livro o homem que calculava não é essa.
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